题目内容

如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=6，底面三角形的边AB=3，BC=4，AC=5，以上、下底的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分形成的几何体的体积．

【答案】分析：根据已知中，三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形的边AB=3，BC=4，AC=5，我们易求出△ABC内切圆半径为R，再根据直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=6，代入棱柱体积公式，和圆柱体积公式，即可得到剩余部分形成的几何体的体积．
解答：解：由已知AC2=AB2+BC2∴△ABC为直角三角形（2分）
设△ABC内切圆半径为R，则有，∴R=1（4分）
∵直三棱柱ABC-A1B1C1的体积V棱柱=S△ABC•AA1=×6=36（6分）
内切圆为底面的圆柱体积V圆柱=πR2•AA1=6π（8分）
∴剩余部分形成的几何体的体积V=V棱柱-V圆柱=36-6π（10分）
点评：本题考查的知识点是棱柱的体积和圆柱的体积，其中求出△ABC内切圆半径为R，是解答本题的关键．
练习册系列答案
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精英家教网如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点．
（1）求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；
（2）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值；
（3）求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．
如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，若记
AB
=
a
，
AC
=
b
，
AA
=
c
，则
DE
=
1
2
a
+
1
2
b
1
2
a
+
1
2
b
（用
a
，
b
，
c
表示）．
如图所示，直三棱柱ABC-A'B'C'中，∠BCA=90°，CA=CB=1，AA'=2，M，N分别是A'B'、A'A的中点．
（1）求证：A'B⊥C'M；
（2）求异面直线BA'与CB'所成交的大小；
（3）（理）求BN与平面CNB'所称的角的大小；
（4）（理）求二面角A-BN-C的大小．
如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=1,AA1=,点D是AB的中点.

（1）求证：CD⊥平面ABB1A1；

（2）求二面角A-A1B-C的平面角的正切值;

（3）求三棱锥B1—A1BC的体积；

（4）求BC1与平面A1BC所成角的正弦值.
如图所示,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ABC=90°,D为棱AC的中点,且AB=BC=BB1=a.

(1)求证:AB1∥平面BC1D;

(2)求异面直线AB1与BC1所成的角;

(3)求点A到平面BC1D的距离.

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