题目内容

(Ⅰ)已知函数P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))是f(x)图象上的任意两点，且x1＜x2．

①求直线PQ的斜率kPQ的取值范围及f(x)图象上任一点切线的斜率k的取值范围；

②由①你得到的结论是：若函数f(x)在[a，b]上有导函数(x)，且f(a)、f(b)存在，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得(ξ)＝________成立(用a，b，f(a)，f(b)表示，只写出结论，不必证明)

(Ⅱ)设函数g(x)的导函数为(x)，且(x)为单调递减函数，g(0)＝0．试运用你在②中得到的结论证明：当x∈(0，1)时，g(1)x＜g(x)．

答案：
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已知函数f(x)=lnx，g(x)=
1
2
ax2+bx．
（1）当a=b=
1
2
时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若b=2且h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（3）当a≠0时，设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M，N，则是否存在点R，使C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行？如果存在，请求出R的横坐标，如果不存在，请说明理由．
对于定义域为I的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆I，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]，f（x）值域也是[m，n]，则称[m，n]是函数y=f（x）的“好区间”．
（1）设g(x)=loga(ax-2a)+loga(ax-3a)（其中a＞0且a≠1），判断g（x）是否存在“好区间”，并说明理由；
（2）已知函数P(x)=
(t2+t)x-1t2x
(t∈R，t≠0)有“好区间”[m，n]，当t变化时，求n-m的最大值．
已知函数y=
x+2
•
5-x
的定义域为集合Q，集合P={x|a+1≤x≤2a+1}．
（1）若a=3，求（?RP）∩Q；
（2）若P⊆Q，求实数a的取值范围．
已知函数f(x)=
3
sinπx+cosπx，x∈R．
（1）求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）设函数f（x）在[-1，1]上的图象与x轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为P，求
PM
与
PN
的夹角的余弦．
已知函数f(x)=
ax
x+b
，且f（1）=1，f（-2）=4．
（1）求a、b的值；
（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜-1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；
（3）当x∈[1，2]时，不等式f(x)≤
2m
(x+1)|x-m|
恒成立，求实数m的取值范围．

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