题目内容

已知函数f(x)=lnx,g(x)=
1
2
ax2+bx

(1)当a=b=
1
2
时,求函数h(x)=f(x)-g(x)的单调区间;
(2)若b=2且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(3)当a≠0时,设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M,N,则是否存在点R,使C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行?如果存在,请求出R的横坐标,如果不存在,请说明理由.
分析:(1)将a、b的值代入,可得h(x)=lnx-
1
4
x2-
1
2
x
,求出其导数,再在区间(0,+∞)上讨论导数的正负,可以得出函数h(x)单调区间;
(2)先求函数h(x)的解析式,因为函数h(x)存在单调递减区间,所以不等式h'(x)<0有解,通过讨论a的正负,得出h′(x)<0有解,即可得出a的取值范围;
(3)首先设点P、Q的坐标是(x1,y1),(x2,y2),0<x1<x2,然后通过导数公式以及导数的几何意义,分别求出曲线C1在点M处的切线斜率k1和曲线C2在点N处的切线斜率k2,因为两条切线平行,所以k1=k2,解关于x1,x2,a,b的方程,整理成ln
x2
x1
=
2(
x2
x1
-1)
1+
x2
x1
,再令t=
x2
x1
,转化为关于t的函数讨论问题,根据其单调性得出lnt>
2(t-1)
1+t
.这与①矛盾,因此假设不成立.可得C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
解答:解:(1)当a=b=
1
2
时,h(x)=lnx-
1
4
x2-
1
2
x

h(x)=
1
x
-
1
2
x-
1
2
=-
x2+x-2
2x
=-
(x+2)(x-1)
2x

∵h(x)的定义域为(0,+∞),令h'(x)=0,得x=1
∴当0<x<1时,h'(x)>0,h(x)在(0,1)上是单调递增;
当x>1时,h'(x)<0,h(x)在(1,+∞)上是单调递减;
所以,函数h(x)=f(x)-g(x)的单调递增区间为(0,1);单调递减区间为(1,+∞).
(2)b=2时,h(x)=lnx-
1
2
ax2-2x

h(x)=
1
x
-ax-2=-
ax2+2x-1
x

因为函数h(x)存在单调递减区间,
所以h′(x)<0有解.
即当x>0时,则ax2+2x-1>0在(0,+∞)上有解.
①当a=0时,y=2x-1为单调递增的一次函数,y=2x-1>0在(0,+∞)总有解.
②当a>0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,y=ax2+2x-1>0在(0,+∞)总有解.
③当a<0时,y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线,而y=ax2+2x-1>0在(0,+∞)总有解,
则△=4+4a>0,且方程y=ax2+2x-1=0至少有一个正根,
此时,-1<a<0
综上所述,a的取值范围为(-1,+∞)
(3)证:设点P、Q的坐标是(x1,y1),(x2,y2),0<x1<x2
则点M,N的横坐标为x=
x1+x2
2

C1点在M处的切线斜率为k1=
1
x
|x=
x1+x2
2
=
2
x1+x2

C2点N处的切线斜率为k2=ax+b|x=
x1+x2
2
=
a(x1+x2)
2
+b

假设C1点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则k1=k2
2
x1+x2
=
a(x1+x2)
2
+b
,则
2(x2-x1)
x1+x2
=
a
2
(
x
2
2
-
x
2
1
)+b(x2-x1)=
a
2
(
x
2
2
+bx2)-(
a
2
x
2
1
+bx1)=y2-y1=lnx2-lnx1

ln
x2
x1
=
2(
x2
x1
-1)
1+
x2
x1

t=
x2
x1
,则lnt=
2(t-1)
1+t
,t>1

F(t)=lnt-
2(t-1)
1+t
,t>1
.则F′(t)=
1
t
-
4
(t+1)2
=
(t-1)2
t(t+1)2

因为t>1时,F'(t)>0,
所以F(t)在[1,+∞)上单调递增.
故F(t)>F(1)=0
lnt>
2(t-1)
1+t
.这与①矛盾,假设不成立.
故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义,函数与方程的讨论等,属于难题.
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