题目内容
（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p的最小值；（2）若三角形有一个内角为
，周长为定值p，求面积S的最大值；（3）为了研究边长a、b、c满足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：
，要使S的值最大，则应使sinC最大，即使∠C最大，也就是使∠C所对的边c边长最大，所以，当a?9，b?8，c?4时该三角形面积最大，此时
，
，所以，该三角形面积的最大值是
．以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的解答．
【答案】分析：（1）设直角三角形两直角边长为x、12-x，斜边长为y，由勾股定理和二次函数的性质求出y的最小值，即得周长p的
最小值．
（2）根据周长p=
，利用基本不等式求得 
，再由S=
=
，求得面积S的最大值．
（3）不正确，由海伦公式化简可得16S2=-[a2-（b2+c2）]2+4b2c2，而-[a2-（b2+c2）]2≤0，b2≤64，c2≤16，
则S≤16，故当三角形的边长a、b、c 分别为
的直角三角形时，其面积取得最大值16．
另解：
．
解答：解：（1）设直角三角形两直角边长分别为x、12-x，斜边长为y，则
，
∴两直角边长都为6时，周长p的最小值为
．
（2）设三角形中边长为x、y的两边所夹的角为
，则周长p=
，
∴
，即 
．
又S=
，∴面积S的最大值为 
．
（3）不正确．16S2=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=[（b+c）2-a2][a2-（b-c）2]
=-a4+2（b2+c2）a2-（b2-c2）2=-[a2-（b2+c2）]2+4b2c2，
而-[a2-（b2+c2）]2≤0，b2≤64，c2≤16，则S≤16．
其中等号成立的条件是 a2=b2+c2，b=8，c=4，则
．
∴当三角形的边长a、b、c 分别为
的直角三角形时，其面积取得最大值16．
（ 另解：
）．
点评：本题考查基本不等式，反余弦函数的定义，海伦公式的应用，三角形中的几何计算，属于难题．
最小值．
（2）根据周长p=
，利用基本不等式求得 ，再由S==，求得面积S的最大值．（3）不正确，由海伦公式化简可得16S2=-[a2-（b2+c2）]2+4b2c2，而-[a2-（b2+c2）]2≤0，b2≤64，c2≤16，
则S≤16，故当三角形的边长a、b、c 分别为
的直角三角形时，其面积取得最大值16．另解：
．解答：解：（1）设直角三角形两直角边长分别为x、12-x，斜边长为y，则
，∴两直角边长都为6时，周长p的最小值为
．（2）设三角形中边长为x、y的两边所夹的角为
，则周长p=，∴
，即 ．又S=
，∴面积S的最大值为 ．（3）不正确．16S2=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=[（b+c）2-a2][a2-（b-c）2]
=-a4+2（b2+c2）a2-（b2-c2）2=-[a2-（b2+c2）]2+4b2c2，
而-[a2-（b2+c2）]2≤0，b2≤64，c2≤16，则S≤16．
其中等号成立的条件是 a2=b2+c2，b=8，c=4，则
．∴当三角形的边长a、b、c 分别为
的直角三角形时，其面积取得最大值16．（ 另解：
）．点评：本题考查基本不等式，反余弦函数的定义，海伦公式的应用，三角形中的几何计算，属于难题．
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