题目内容

（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p的最小值；
（2）若三角形有一个内角为，周长为定值p，求面积S的最大值；
（3）为了研究边长a、b、c满足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：，要使S的值最大，则应使sinC最大，即使∠C最大，也就是使∠C所对的边c边长最大，所以，当a?9，b?8，c?4时该三角形面积最大，此时，，所以，该三角形面积的最大值是．以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的解答．
【答案】分析：（1）设直角三角形两直角边长为x、12-x，斜边长为y，由勾股定理和二次函数的性质求出y的最小值，即得周长p的
最小值．
（2）根据周长p=，利用基本不等式求得 ，再由S==，求得面积S的最大值．
（3）不正确，由海伦公式化简可得16S2=-[a2-（b2+c2）]2+4b2c2，而-[a2-（b2+c2）]2≤0，b2≤64，c2≤16，
则S≤16，故当三角形的边长a、b、c 分别为  的直角三角形时，其面积取得最大值16．
另解：．
解答：解：（1）设直角三角形两直角边长分别为x、12-x，斜边长为y，则 ，
∴两直角边长都为6时，周长p的最小值为 ．
 （2）设三角形中边长为x、y的两边所夹的角为 ，则周长p=，
∴，即 ．
又S=，∴面积S的最大值为 ．
（3）不正确．16S2=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=[（b+c）2-a2][a2-（b-c）2]
=-a4+2（b2+c2）a2-（b2-c2）2=-[a2-（b2+c2）]2+4b2c2，
而-[a2-（b2+c2）]2≤0，b2≤64，c2≤16，则S≤16．
其中等号成立的条件是 a2=b2+c2，b=8，c=4，则 ．
∴当三角形的边长a、b、c 分别为 的直角三角形时，其面积取得最大值16．
（ 另解：）．
点评：本题考查基本不等式，反余弦函数的定义，海伦公式的应用，三角形中的几何计算，属于难题．
练习册系列答案
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9
，周长为定值p，求面积S的最大值；
（3）为了研究边长a、b、c满足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：S=
1
2
absinC≤
1
2
×9×8sinC=36sinC，要使S的值最大，则应使sinC最大，即使∠C最大，也就是使∠C所对的边c边长最大，所以，当a?9，b?8，c?4时该三角形面积最大，此时cosC=
43
48
，sinC=
455
48
，所以，该三角形面积的最大值是
3
455
4
．以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的解答．
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而-[c2-（a2+b2）]2≤0，a2≤81，b2≤64，则S≤36，但是，其中等号成立的条件是c2=a2+b2，a=9，b=8，于是c2=145与3≤c≤4矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值．
以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．
（注：16S2=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）称为三角形面积的海伦公式，它已经被证明是正确的）
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absinC≤
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