题目内容

求证：
sinα
1-cosα
=
1+cosα
sinα
．
分析：法一：根据平方关系得，1-cos2 α=sin2 α，利用平方差公式展开，再化为分式；
法二：采用左边减右边，再通分，利用倍角公式化简求值即可．
解答：证明：法一：由sin2 α+cos2 α=1得，
1-cos2 α=sin2 α，即（1-cos α）（1+cos α）=sin α•sin α
∴
sinα
1-cosα
=
1+cosα
sinα
．
法二：
sinα
1-cosα
-
1+cosα
sinα

=
sin2α-(1+cosα)(1-cosα)
(1-cosα)•sinα

=
sin2α-(1-cos2α)
(1-cosα)sinα
=
sin2α-sin2α
(1-cosα)sinα
=0，
∴
sinα
1-cosα
=
1+cosα
sinα
．
点评：本题考查了平方关系，倍角公式的应用，以及三角函数恒等变换证明方法，注意一题多解的情况．
练习册系列答案
相关题目
设0＜α＜π＜β＜2π，向量
a
=(1，-2)，
b
=(2cosα，sinα)，
c
=(sinβ，2cosβ)，
d
=(cosβ，-2sinβ)．
（1）若
a
⊥
b
，求α；
（2）若|
c
+
d
|=
3
，求sinβ+cosβ的值；
（3）若tanαtanβ=4，求证：
b
∥
c
．
已知
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，
c
=(1，0)．
（1）若
a
•
b
=
2
3
，记α-β=θ，求sin2θ-sin(
π
2
+θ)的值；
（2）若α≠
kπ
2
，β≠kπ（k∈Z），且
a
∥(
b
+
c
)，求证：tanα=tan
β
2
．
有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知点A（1，0），B（2，2），C（3，0），矩阵M表示变换”顺时针旋转45°”．
（Ⅰ）写出矩阵M及其逆矩阵M-1；
（Ⅱ）请写出△ABC在矩阵M-1对应的变换作用下所得△A1B1C1的面积．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
过P（2，0）作倾斜角为α的直线l与曲线E：
x=cosθ
y=
2
2
sinθ
（θ为参数）交于A，B两点．
（Ⅰ）求曲线E的普通方程及l的参数方程；
（Ⅱ）求sinα的取值范围．
（3）（选修4-5 不等式证明选讲）
已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3，
（Ⅰ）求证：
a
+
b
+
c
≤3；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．
（1）在平面直角坐标系xOy中，判断曲线C：
x=2cosθ
y=sinθ
（θ为参数）与直线l：
x=1+2t
y=1-t
（t为参数）是否有公共点，并证明你的结论．
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：
1
2a+1
+
4
2b+1
≥
9
4
．
已知圆Mx2+y2-2tx-6t-10=0，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），若椭圆C与x轴的交点A（5，y0）到其右准线的距离为
10
3
；点A在圆M外，且圆M上的点和点A的最大距离与最小距离之差为2．
（1）求圆M的方程和椭圆C的方程；
（2）设点P为椭圆C上任意一点，自点P向圆M引切线，切点分别为A、B，请试着去求
P
A•
P
B的取值范围；
（3）设直线系M：xcosθ+（y-3）sinθ=1（θ∈R）；求证：直线系M中的任意一条直线l恒与定圆相切，并直接写出三边都在直线系M中的直线上的所有可能的等腰直角三角形的面积．

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