Question

设0＜α＜π＜β＜2π，向量

a

=(1，-2)，

b

=(2cosα，sinα)，

c

=(sinβ，2cosβ)，

d

=(cosβ，-2sinβ)．
（1）若

a

⊥

b

，求α；
（2）若|

c

+

d

|=

3

，求sinβ+cosβ的值；
（3）若tanαtanβ=4，求证：

b

∥

c

．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量垂直的性质，求得tanα 的值，即可得到α的值．
（2）由题意可得

c

+

d

的坐标，再根据|

c

+

d

|=

3

求得sinβcosβ的值，根据β的范围，从而求得sinβ+cosβ的值．

解答：解：（1）若

a

⊥

b

，则

a

•

b

=2cosα-2sinα=0，∴tanα=1．再由0＜α＜π＜β＜2π，可得α=

π

4

．
（2）由题意可得

c

+

d

=（sinβ+cosβ，2cosβ-2sinβ），
∴|

c

+

d

|=

(sinβ+cosβ)2+(2cosβ-2sinβ)2

=

5-6sinβcosβ

=

3

，∴sinβcosβ=

1

3

．
结合0＜α＜π＜β＜2π，可得β为第三象限角，故 sinβ+cosβ＜0．
∴sinβ+cosβ=-

(sinβ+cosβ)2

=-

1+2sinβcosβ

=-

15

3

．
（3）若tanαtanβ=4，则有

sinα

cosα

•

sinβ

cosβ

=4，∴sinαsinβ=4cosαcosβ，∴

2cosα

sinβ

=

sinα

2cosβ

，
故

b

与

c

的坐标对应成比例，故

b

∥

c

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、求向量的模、同角三角函数的基本关系以及两个向量共线的条件，两个向量垂直的性质，属于中档题．