Question

7．若函数$f（x）=lnx+ax+\frac{1}{x}$在[1，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（　　）

• A． $（-∞，0]∪[\frac{1}{4}，+∞）$
• B． $（-∞，-\frac{1}{4}]∪[0，+∞）$
• C． $[-\frac{1}{4}，0]$
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 由求导公式和法则求出f′（x），由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a的取值范围．

解答 解：由题意得，f′（x）=$\frac{1}{x}+a-\frac{1}{{x}^{2}}$，
因为$f（x）=lnx+ax+\frac{1}{x}$在[1，+∞）上是单调函数，
所以f′（x）≥0或f′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，
①当f′（x）≥0时，则$\frac{1}{x}+a-\frac{1}{{x}^{2}}≥0$在[1，+∞）上恒成立，
即a≥$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$，设g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$=$（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$，
因为x∈[1，+∞），所以$\frac{1}{x}$∈（0，1]，
当$\frac{1}{x}$=1时，g（x）取到最大值是：0，
所以a≥0，
②当f′（x）≤0时，则$\frac{1}{x}+a-\frac{1}{{x}^{2}}≤0$在[1，+∞）上恒成立，
即a≤$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$，设g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$=$（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$，
因为x∈[1，+∞），所以$\frac{1}{x}$∈（0，1]，
当$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{2}$时，g（x）取到最大值是：$-\frac{1}{4}$，
所以a≤$-\frac{1}{4}$，
综上可得，a≤$-\frac{1}{4}$或a≥0，
所以数a的取值范围是（-∞，$-\frac{1}{4}$]∪[0，+∞），
故选：B．

点评 本题查求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，以及恒成立问题的转化，考查分离常数法，整体思想、分类讨论思想，属于中档题．