题目内容
（2013•杭州二模）已知直线y=2x-2与抛物线x2=2py（p＞0）交于M1，M2两点，|M1M2|=8| 15 |
（I）求P的值；
（Ⅱ）设A是直线y=
| p |
| 2 |
| p |
| 2 |
| OA |
| OB |
分析：（I）联立直线方程与抛物线方程消掉y得x的二次方程，设M1（x1，y1），M2（x2，y2），根据韦达定理及弦长公式可得一方程，解出即得p值；
（Ⅱ）由（I）知
，M1(x1，
)，M2(x2，
)，设M3(x3，
)，A（t，2），B（a，2），由A、M2，M3三点共线得，kM2M3=kAM2，整理得①式，同理由B、M3，M1三点共线得②式，结合韦达定理可得at值，由此可求得
•
的值．
（Ⅱ）由（I）知
|
| x12 |
| 8 |
| x22 |
| 8 |
| x32 |
| 8 |
| OA |
| OB |
解答：解：（I）由
，整理得x2-4px+4p=0，
设M1（x1，y1），M2（x2，y2），则
，
∵|M1M2|=8
．∴
=8
，即
=8
，
∴p2-p-12=0，解得p=4或p=-3（舍），且p=4满足△＞0，
所以p=4．
（Ⅱ）由（I）知抛物线方程为x2=8y，且
，M1(x1，
)，M2(x2，
)，
设M3(x3，
)，A（t，2），B（a，2），
由A、M2，M3三点共线得，kM2M3=kAM2，
所以
=
，即x22+x2x3-t(x2+x3)=x22-16，
整理得x2x3-t（x2+x3）=-16，①
由B、M3，M1三点共线，同理可得x1x3-a（x1+x3）=-16，②
②式两边同乘x2得，x1x2x3-a（x1x2+x2x3）=-16x2，即16x3-a（16+x2x3）=-16x2，③
由①得x2x3=t（x2+x3）-16，代入③得16x3-16a-ta（x2+x3）+16a=-16x2，即16（x2+x3）=at（x2+x3），
所以at=16，
所以
•
=at+4=20．
|
设M1（x1，y1），M2（x2，y2），则
|
∵|M1M2|=8
| 15 |
| [(x1+x2)2-4x1x2](1+22) |
| 15 |
| (16p2-16p)•5 |
| 15 |
∴p2-p-12=0，解得p=4或p=-3（舍），且p=4满足△＞0，
所以p=4．
（Ⅱ）由（I）知抛物线方程为x2=8y，且
|
| x12 |
| 8 |
| x22 |
| 8 |
设M3(x3，
| x32 |
| 8 |
由A、M2，M3三点共线得，kM2M3=kAM2，
所以
| x2+x3 |
| 8 |
| ||
| x2-t |
整理得x2x3-t（x2+x3）=-16，①
由B、M3，M1三点共线，同理可得x1x3-a（x1+x3）=-16，②
②式两边同乘x2得，x1x2x3-a（x1x2+x2x3）=-16x2，即16x3-a（16+x2x3）=-16x2，③
由①得x2x3=t（x2+x3）-16，代入③得16x3-16a-ta（x2+x3）+16a=-16x2，即16（x2+x3）=at（x2+x3），
所以at=16，
所以
| OA |
| OB |
点评：本题考查抛物线方程、直线的斜率及弦长公式等基础知识，考查学生应用知识分析解决问题的能力，对式子恰当活变形灵运用韦达定理是解决（Ⅱ）问的关键．
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