Question

已知函数
（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；
（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数，求证：．

Answer 1

（1）增区间是，减区间是
（2）
（3）构造函数，
，
则放缩法得到证明。

解析试题分析：解：（Ⅰ）由得，所以．
由得，故的单调递增区间是，
由得，故的单调递减区间是．
（Ⅱ）由可知是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立．
由得．
①当时，．
此时在上单调递增．故，符合题意．
②当时，．
当变化时的变化情况如下表：

	单调递减	极小值	单调递增

由此可得，在上，．
依题意，，又．
综合①，②得，实数的取值范围是．
（Ⅲ），