Question

1．如图，已知AB为⊙O的直径，CE⊥AB于点H，与⊙O交于点C、D，且AB=10，CD=8，DE=4，EF与⊙O切于点F，BF与HD交于点G．
（Ⅰ）证明：EF=EG；
（Ⅱ）求GH的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：连接 AF、OE、OF，则A，F，G，H四点共圆，证明∠FGE=∠BAF=∠EFG，即可证明EF=EG；
（Ⅱ）求出EG，EH，即可求GH的长．

解答 （Ⅰ）证明：连接 AF、OE、OF，则A，F，G，H四点共圆
由EF是切线知OF⊥EF，∠BAF=∠EFG
∵CE⊥AB于点H，AF⊥BF，
∴∠FGE=∠BAF
∴∠FGE=∠EFG，
∴EF=EG…（5分）
（Ⅱ）解：∵OE²=OH²+HE²=OF²+EF²，
∴EF²=OH²+HE²-OF²=48，
∴EF=EG=4$\sqrt{3}$，
∴GH=EH-EG=8-4$\sqrt{3}$…（10分）

点评 本题考查圆的内接四边形的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．