Question

如图，矩形ABCD是机器人踢足球的场地，AB=170cm，AD=80cm，机器人先从AD的中点E进入场地到点F处，EF=40cm，EF⊥AD．场地内有一小球从B点向A点运动，机器人从F点出发去截小球，现机器人和小球同时出发，它们均作匀速直线运动，并且小球运动的速度是机器人行走速度的2倍．若忽略机器人原地旋转所需的时间，则机器人最快可在何处截住小球？

Answer 1

分析：设机器人最快可在点G处截住小球，点G在线段AB上，设FG为xcm，表示出BG和AG因为三角形AEF为等腰直角三角形，可得角FAG为45°，在三角形AFG中根据余弦定理求出FG即可．

解答：解：设该机器人最快可在点G处截住小球，点G在线段AB上．
设FG=xcm．根据题意，得BG=2xcm．
则AG=AB-BG=（170-2x）（cm）．
连接AF，在△AEF中，EF=AE=40cm，EF⊥AD，
所以∠EAF=45°，AF=40

2

cm．
于是∠FAG=45°．在△AFG中，由余弦定理，
得FG²=AF²+AG²-2AF•AGcos∠FAG．
所以x2=(40

2

)2+(170-2x)2-2×40

2

×(170-2x)cos45°．
解得x1=50x2=

370

3

．
所以AG=170-2x=70（cm），或AG=-

230

3

 (cm)（不合题意，舍去）．
答：该机器人最快可在线段AB上离A点70cm处截住小球．

点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，利用余弦定理求边的能力．