题目内容

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且cosA= $数学公式$ ．
（1）求 $数学公式$ sin（2A+ $数学公式$ ）的值；
（2）若b=4，△ABC的面积S=6，求sinB的值．

解：（1）在△ABC中中，由cosA= $\text{[math]}$ 得sinA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
则 $\text{[math]}$ sin（2A+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ （sin2Acos $\text{[math]}$ +cos2Asin $\text{[math]}$ ）=sin2A+cos2A=2sinAcosA+2cos²A-1=2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
（2）∵b=4，△ABC的面积S=6
∴ $\text{[math]}$ bcsinA=6即 $\text{[math]}$ ×4×c× $\text{[math]}$ =6
解得c=5
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=16+25-2×4×5× $\text{[math]}$ =9
解得a=3
由正弦定理得 $\text{[math]}$
∴sinB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）先根据sin²α+cos²α=1求出sinA的值，然后根据两角和与差公式得出 $\text{[math]}$ sin（2A+ $\text{[math]}$ ）=sin2A+cos2A，最后由二倍角公式得出答案．
（2）根据三角形的面积公式求出c的值，再由余弦定理得出a的值，最后由正弦定理 $\text{[math]}$ 求得结果．
点评：此题考查了三角函数的和与差公式、余弦定理、正弦定理等知识，熟练掌握公式是解题的关键，属于中档题．