Question

13．设函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$是奇函数（a，b，c都是整数），且f（-1）=-2，f（2）＜3
（1）求a，b，c的值；
（2）试判断当x＜0时f（x）的单调性，并用单调性定义证明你的结论．
（3）若当x＜0时2m-1＞f（x）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用f（-x）=-f（x）得c=0，利用f（-1）=-2，f（2）＜3，求出a，b的值；
（2）利用单调性定义证明的步骤，即可证明；
（3）由（2）知当x＜0时f（x）的最大值为f（-1）=-2，故只需2m-1＞-2即可．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{a{x^2}+1}}{bx+c}$为奇函数，则有f（-x）=-f（x）得c=0．…（2分）
又f（-1）=-2，f（2）＜3，
∴$\left\{\begin{array}{l}a+1=2b\\ \frac{4a+1}{2b}＜3\end{array}\right.$⇒-1＜a＜2…（3分）
又a∈Z，∴a=0，1．
当a=0时$b=\frac{1}{2}（舍）$，当a=1时b=1…（4分）
综合得a=1，b=1，c=0…（5分）
（2）设x₁＜x₂＜0，x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{（{x_2}-{x_1}）（1-{x_1}{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}$，…（7分）
当x₁＜x₂≤-1时，x₁x₂＞1，∴1-x₁x₂＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，-1]上是增函数； …（9分）
同理可证f（x）在[-1，0）上是减函数；…（10分）
（3）由（2）知当x＜0时f（x）的最大值为f（-1）=-2，∴只需2m-1＞-2即可，∴$m＞-\frac{1}{2}$…（12分）

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．