Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a+b=9．
（1）若tanC=3

7

，

CB

•

CA

=

5

2

，求c．
（2）若c=6，过AB中点O垂直于平面ABC的直线上有一点P，PO=

15

2

，当△ABC面积最大时，求∠PCO的大小．

Answer 1

分析：（1）由tanC=3

7

可得cosC的值，再由

CB

•

CA

=

5

2

求出ab=20，由a+b=9及余弦定理可得c²=a²+b²-2ab•cosC=（a+b）²-2ab（1+cosC）=36，由此求得c的值．
（2）由△ABC面积S=

1

2

ab•sinC≤

1

2

• (

a+b

2

)2•sinC，当且仅当a=b=

9

2

时，等号成立，由此可得OC的值，Rt△POC中，由tan∠PCO=

PO

OC

=

3

3

，求得∠PCO的值．

解答：解：（1）由tanC=3

7

可得cosC=

1

8

，∵

CB

•

CA

=

5

2

，∴ab×cosC=

5

2

，ab=20．
∵a+b=9，由余弦定理可得 c²=a²+b²-2ab•cosC=（a+b）²-2ab（1+cosC）=36，
由此求得c=6．
（2）∵c=6，△ABC面积S=

1

2

ab•sinC≤

1

2

• (

a+b

2

)2•sinC，当且仅当a=b=

9

2

时，等号成立．
∵PO=

15

2

，OC=

a2-( c 2 )2

=

3 5

2

，Rt△POC中，tan∠PCO=

PO

OC

=

3

3

，
∴∠PCO=30°．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，余弦定理、基本不等式的应用，以及解三角形，属于中档题．