Question

椭圆E的离心率为，F₁（-c，0），F₂（c，0）分别是左、右焦点，过F₁的直线与圆相切，且与椭圆E交于A，B两点，且．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设M为椭圆E上一动点，点N（0，2），求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆E的离心率，化简方程，设出切线AB的方程利用直线与圆相切，及弦长公式，即可求椭圆E的方程；
（2）表示出，利用配方法，即可求的最大值．
解答：解：（1）∵椭圆E的离心率为，∴a²=4c²，b²=3c²，
∴椭圆E：
设切线AB：y=k（x+c），即kx-y+ck=0
∴圆的圆心（-c，-2）到直线kx-y+ck=0的距离d==1
∴k=
∴切线AB为y=（x+c），
将切线方程代入，可得5x²+8cx=0
∴x₁=0，x₂=-
∵，∴|AB|=|x₁-x₂|==，∴c=1
∴椭圆E的方程为；
（2）设M（x，y），则，=（-≤y≤）
∴==
∵-≤y≤
∴y=-时，的最大值为．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查向量模长的计算，属于中档题．