题目内容

已知 $数学公式$ 时都取得极值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若x∈[-1，2]，都有f（x）-c²＜0成立，求c的取值范围．

解：（Ⅰ）由已知，f'（x）=3x²+2ax+b，∵ $\text{[math]}$ 时取极值，
∴ $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ ，故a，b的值为： $\text{[math]}$
（Ⅱ）（解法一）由（I）知 $\text{[math]}$ ．由 $\text{[math]}$ 上恒成立．
设 $\text{[math]}$ ．…（8分）
由 $\text{[math]}$ ．…（10分）
∴[g（x）]_max=2，∴2＜c²-c解得，c＜-1或c＞2．，
∴c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）．
（解法二）由（I）知 $\text{[math]}$ ．，∴f'（x）=3x²-x-2．…（8分）
①当 $\text{[math]}$ ；②当 $\text{[math]}$ ；
③当 $\text{[math]}$ ．
而 $\text{[math]}$ ，…（10分）
∴当x∈[1，2]时，f（x）的最大值为f（2）=2+c．
对 $\text{[math]}$ ，
故c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）．…（12分）
分析：（Ⅰ）由极值的定义可知 $\text{[math]}$ 解此方程组可得a、b的值；
（Ⅱ）解法一通过分离常数把问题转化为求函数g（x）= $\text{[math]}$ 在区间[-1，2]上的最大值问题；解法二则把问题恒成立转化为求函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值问题．
点评：本题考查函数的极值与最值，通过求解函数的最值来解决恒成立问题是解决问题的关键，属中档题．