Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

与x=1时都取得极值．
（1）求a、b的值；
（2）若函数f（x）的图象与x轴有3个交点，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a，b的关系式，解方程组即可，写出函数的解析式．
（2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，求出极值，令极大值大于零，极小值小于零，解此不等式组即可求得结果．

解答：解：（1）f（x）=x³+ax²+bx，f′（x）=3x²+2ax+b
由f′（ -

2

3

）=

12

9

-

4

3

a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0
得a=-

1

2

，b=-2
经检验，a=-

1

2

，b=-2符合题意
（2）由（1）得函数解析式为f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c
∴f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
列表

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

f(-

2

3

)=

22

27

+c，f(1)=-

3

2

+c，
要使函数f（x）的图象与x轴有3个交点，
须满足

f(- 2 3 )= 22 27 +c＞0 f(1)=- 3 2 +c＜0

解得-

22

27

＜c＜

3

2

，
因此c的取值范围为：-

22

27

＜c＜

3

2

．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，以及函数图象与x轴交点个数问题，根据函数f（x）在x=-

2

3

与x=1时取得极值，且图象与x轴有且只有3个交点，等价于极大值大于0且极小值小于0，是解题的关键，体现了转化的数学思想方法，属中档题．