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等差数列{a
n
}的公差不为零，a
1
=2，若a
1
，a
2
，a
4
成等比数列，则a
n
=______．
试题答案
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∵a
1
，a
2
，a
4
成等比数列，∴a
1
•a
4
=a
2
2
，即2×（2+3d）=（2+d）
2
，解得d=2，（d=0舍去），由等差数列通项公式得a
n
=2+（n-1）×2=2n
故答案为：2n．
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如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
（1）设数列{a
n
}是公方差为p的等方差数列，求a
n
和a
n-1
（n≥2，n∈N）的关系式；
（2）若数列{a
n
}既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列；
（3）设数列{a
n
}是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将a
1
，a
2
，a
3
，…，a
10
这种顺序的排列作为某种密码，求这种密码的个数．
按照等差数列的定义我们可以定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a
n
}是等和数列，且a
1
=2，公和为5，那么a
8
的值为
3
3
．
（2012•安徽模拟）如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它的前一项的平方差是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
（Ⅰ）若数列{a
n
}既是等方差数列，又是等差数列，求证：该数列是常数列；
（Ⅱ）已知数列{a
n
}是首项为2，公方差为2的等方差数列，数列{b
n
}的前n项和为S
n
，且满足
a
n
2
=
2
n+1
b
n
．若不等式
2
n
•
S
n
＞m•
2
n
-2
a
n
2
对?n∈N
*
恒成立，求m的取值范围．
如果一个数列的各项均为实数，且从第二项起开始，每一项的平方与它前一项的平方的差都是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
（1）若数列{b
n
}是等方差数列，b
1
=1，b
2
=3，求b
7
；
（2）是否存在一个非常数数列的等差数列或等比数列，同时也是等方差数列？若存在，求出这个数列；若不存在，说明理由．
（3）若正项数列{a
n
}是首项为2、公方差为4的等方差数列，数列
{
1
a
n
}
的前n项和为T
n
，是否存在正整数p，q，使不等式
T
n
＞
pn+q
-1
对一切n∈N
*
都成立？若存在，求出p，q的值；若不存在，说明理由．
若各项都是实数的数列从第二项起，每一项与它前一项的平方差是同一常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
（Ⅰ）若数列{a
n
}是等差数列，前n项和为T
n
，并且
a
n
2
=
T
2n-1
，求通项a
n
；
（Ⅱ）若数列{a
n
}是首项为2，公方差为2的等方差数列，数列{b
n
}的前n项和为S
n
，且
a
n
2
=
2
n+1
b
n
．
2
n
•
S
n
＞m•
2
n
-2
a
n
2
对?n∈N
*
恒成立，求m的取值范围．
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