Question

设a、b、c均为正实数，求证：

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

．

Answer 1

分析：对左边变形

1

2

（

1

2a

+

1

2b

）+

1

2

（

1

2b

+

1

2c

）+

1

2

（

1

2c

+

1

2a

）后，两项两项地应用基本不等式，得到三个不等式后相加即得．

解答：证明：∵a、b、c均为正实数，
∴

1

2

（

1

2a

+

1

2b

）≥

1

2 ab

≥

1

a+b

，当a=b时等号成立；

1

2

（

1

2b

+

1

2c

）≥

1

2 bc

≥

1

b+c

，当b=c时等号成立；

1

2

（

1

2c

+

1

2a

）≥

1

2 ca

≥

1

c+a

．
三个不等式相加即得

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

，
当且仅当a=b=c时等号成立．

点评：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法．