Question

（本题满分14分）

已知椭圆＞b＞的离心率为且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为.斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求m的取值范围.

（3）试用m表示△MPQ的面积S，并求面积S的最大值.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）依题意可得解得

      从而所求椭圆方程为…………………4分

（2）直线的方程为

由可得

该方程的判别式△=＞0恒成立.

设则………………5分

可得

设线段PQ中点为N，则点N的坐标为………………6分

线段PQ的垂直平分线方程为

         令，由题意………………………………………………7分

         又，所以0＜＜…………………………………………………8分

      （3）点M到直线的距离

          

                              

                              

于是

                    

由可得代入上式，得

即＜＜.…………………………………………11分

设则

而＞00＜m＜＜0＜m＜

所以在上单调递增，在上单调递减.

所以当时，有最大值……………………13分

所以当时，△MPQ的面积S有最大值…………………14分

 

【解析】略