Question

设椭圆的两个焦点分别为F₁，F₂，过F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F₁PF₂为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．

Answer 1

分析：设椭圆的方程和点P的坐标，把点P的坐标代入椭圆的方程，求出点P的纵坐标的绝对值，Rt△PF₁F₂ 中，利用边角关系，建立a、c 之间的关系，从而求出椭圆的离心率．
解答：设椭圆的方程为 （a＞b＞0），
设点P（c，h），则 =1，
h²=b²-=，∴|h|=，
由题意得∠F₁PF₂=90°，∠PF₁F₂=45°，
Rt△PF₁F₂ 中，tan45°=1=====，
∴a²-c²=2ac，+2•-1=0，∴=-1，
故答案为：．
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目．应熟练掌握圆锥曲线中a，b，c和e的关系．