Question

如图，过抛物线x²=4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0）作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点，
（Ⅰ）设点P分有向线段所成的比为λ，证明：；
（Ⅱ）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为y=kx+m，
代入抛物线方程得， ①
设A、B两点的坐标分别是，
则x₁、x₂是方程①的两根，所以，
由点P（0，m）分有向线段所成的比为λ，
得，即，
又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，-m），
从而，
，


，
所以；
（Ⅱ）由得点A、B的坐标分别是（6，9）、（-4，4），
由得，
所以抛物线在点A处切线的斜率为，
设圆C的方程是，
则，
解之得，
所以圆C的方程是，即。