Question

已知

（1）求的极值，

并证明：若有；

（2）设，且，，

证明：，

若，由上述结论猜想一个一般性结论（不需要证明）；

（3）证明：若，则

 

Answer 1

【答案】

（1）0，利用作差法即可证明；（2）利用综合法即可证明，猜想：若，且时有

；（3）利用第(2)问的结论及对数的运算证明即可

【解析】

试题分析：（1）则

当x∈（0，1）时，x∈（1，＋∞）时，

∴在（0，1）递增，在（1，＋∞）递减，

，∴当x=1时，F（x）有极大值为0，且         2分

∴当时恒成立，即时恒成立。

∴         4分

（2）证明：设，且，令，则，且

，，

由（1）可知      ①

                 ②

①+②，得

∴        8分

猜想：若，且时有

         9分

（3）证明：令

由猜想结论得

=

∴，

即有。                 14分

考点：本题考查了导数的运用

点评：导数本身是个解决问题的工具，是高考必考内容之一，高考往往结合函数甚至是实际问题考查导数的应用，求单调、最值、完成证明等，请注意归纳常规方法和常见注意点