Question

【题目】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）= （0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为 ．

再由C（0）=8，得k=40，因此 ．

而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和

（Ⅱ） ，令f'（x）=0，即 ．

解得x=5， （舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为 ．

当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．

【解析】（Ⅰ）由题意可得每年能源消耗费用为 C ( x ) = ,又根据C（0）=8，得k=40，因此 C ( x ) =，建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和 f ( x ) = 20 C ( x ) + C1 ( x ) = 20 × + 6 x = + 6 x ( 0 ≤ x ≤ 10）
（Ⅱ）根据求导求最值令f'（x）=0即解得x=5， x = （舍去）.当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为 f ( 5 ) = 6 × 5 + = 70 ．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元