Question

已知抛物线x²=4y与圆x²+y²=32相交于A，B两点，圆与y轴正半轴交于C点，直线l是圆的切线，交抛物线与M，N，并且切点在

ACB

上．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）当M，N两点到抛物线焦点距离和最大时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据题意，抛物线x²=4y与圆x²+y²=32相交于A，B两点，可得

x2=4y x2+y2=32

，解可得A、B的坐标，进而由

x=0 x2+y2=32 y＞0

，知C的坐标．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则|MF|+|NF|=y₁+y₂+2，设切点为（x₀，y₀），则直线l的方程为x₀x+y₀y=32，由此可求出直线l的方程．

解答：解：（1）由

x2=4y x2+y2=32

，解得A（-4，4），B（4，4），由

x=0 x2+y2=32 y＞0

，解得C（0，4

2

）．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则|MF|+|NF|=y₁+y₂+2，
设切点为（x₀，y₀），则直线l的方程为x₀x+y₀y=32，
当x₀=0时，y1+y2=8

2

，
|MF|+|NF|=8

2

+2，x₀²=32-y₀²，
y1+y2=

64y0+4x02

y02

=

128

y02

+

64

y0

-4，
∵4≤y0≤4

2

，∴y₁+y₂有最大值20．
这时|MF|+|NF|=22＞8

2

+2，∴直线l的方程为x-y+8=0或x+y-8=0．

点评：本题考查圆锥曲线的直线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．