Question

定义在R上的偶函数y=f（x）在（-∞，0]上递增，函数y=f（x）的一个零点为-

1

2

．求满足f(log

1

4

x)≥0的x的取值集合．

Answer 1

分析：利用函数是偶函数，得到

1

2

也是函数的零点，然后利用函数单调性和奇偶性之间的关系解不等式即可．

解答：解：∵-

1

2

是函数的零点，∴f(-

1

2

)=0，…（1分）
∵f（x）为偶函数，∴f(

1

2

)=0，…（2分）
∵f（x）在（-∞，0]上递增，f(log

1

4

x)≥f(-

1

2

)…（4分）
∴0≥log

1

4

x≥-

1

2

，∴1≤x≤2，…（7分）
∵f（x）为偶函数，∴f（x）在[0，+∞）上单调减，…（8分）
又f(log

1

4

x)≥f(

1

2

)，∴0≤log

1

4

x≤

1

2

，∴

1

2

≤x≤1，∴

1

2

≤x≤2．…（11分）
故x的取值集合为{x|

1

2

≤x≤2}．…（12分）

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，考查函数的综合性质的应用．