Question

定义在R上的偶函数y=f （x）满足f （ x+2 ）=-f （x）对所有实数x都成立，且在[-2，0]上单调递增，a=f（

3

2

），b=f（

7

2

），c=f（log 

1

2

8），则a，b，c的由大到小顺序是（用“＞”连 结）

 

．

Answer 1

分析：由f （ x+2 ）=-f （x）得f （ x+4 ）=f （x），即函数的周期为4，利用函数的周期性，奇偶性和单调性之间的关系进行判断即可．

解答：解：∵f （ x+2 ）=-f （x），
∴f （ x+4 ）=f （x），
即函数的周期是4．
∵偶函数y=f （x）在[-2，0]上单调递增，
∴函数在[0，2]上单调递减．
f（

7

2

）=f（

7

2

-4）=f（-

1

2

）=f（

1

2

），
f（log 

1

2

8）=f（-3）=f（-3+4）=f（1），
∵函数在[0，2]上单调递减．
∴f（

3

2

）＜f（1）＜f（

1

2

），
即b＞c＞a．
故答案为：b＞c＞a．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的性质，利用条件求出函数的周期性是解决本题的关键，综合考查函数的性质．