Question

已知集合A={x|0＜ax+1≤5}，集合B={x|-

1

2

＜x≤2}．
（1）若A⊆B，求实数a的取值范围；
（2）A，B能否相等？若能，求出a的值，若不能，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）题目给出的集合B是具体的，集合A含有字母a，所以需要对a的范围进行讨论，根据不同的情况，要使A⊆B，需根据两集合左右端点值的大小列式；
（2）由（1）知只有a＞0时集合A和集合B有相等的可能，由它们的端点值相等就可以求a的值．

解答：解：（1）若a=0，则A=R，不满足A⊆B；
若a＞0，A={x|0＜ax+1≤5}={x|-

1

a

＜x≤

4

a

}，集合B={x|-

1

2

＜x≤2}，要使A⊆B，
则

- 1 a ≥- 1 2 4 a ≤2

，解得：a≥2；
若a＜0，A={x|0＜ax+1≤5}={x|

4

a

≤x＜-

1

a

}，集合B={x|-

1

2

＜x≤2}，要使A⊆B，
则

4 a ＞- 1 2 - 1 a ≤2

，解得：a＜-8．
综上所述，使A⊆B的实数a的取值范围是（-∞，-8）∪[2，+∞）．
（2）由（1）知，只有在a＞0时A与B才有可能相等，由{x|-

1

a

＜x≤

4

a

}={x|-

1

2

＜x≤2}，得a=2，
所以当a=2时，A，B相等．

点评：本题考查了集合的包含关系的判断及应用，考查了分类讨论的数学思想，解答此题的关键是正确理解子集的概念．