题目内容

已知△ABC中，（tanA+1）（tanB+1）=2，AB=2，求：
（1）角C的度数；
（2）求三角形ABC面积的最大值．
记角A、角B、角C的对边分别为a、b、c
（1）tanA+tanB+tanAtanB+1=2，即tanA+tanB=1-tanAtanB，
∵1-tanAtanB≠0，
∴tan（A+B）=
tanA+tanB
1-tanAtanB
=1，
即tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-1，
∵C∈（0，π），∴C=
3π
4
；
（2）由余弦定理a2+b2-2abcosC=c2得：
a2+b2+2×
2
2
ab=4，即a2+b2+
2
ab=4，
而4-
2
ab=a2+b2≥2ab，即ab≤4-2
2
，
所以S△ABC=
1
2
absinC=
2
4
ab≤
2
4
（4-2
2
）=
2
-1．
练习册系列答案
相关题目
已知△ABC中，
AB
=(-
3
sinx，sinx)，
AC
=(sinx，cosx)
（1）设f(x)=
AB
•
AC
，若f（A）=0，求角A的值；
（2）若对任意的实数t，恒有|
AB
-t
AC
|≥|
BC
|，求△ABC面积的最大值．
（选做题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-1：几何证明选讲]
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A，C重合），延长BD至点E．
求证：AD的延长线平分∠CDE
B．[选修4-2：矩阵与变换]
已知矩阵A=
12
-14

（1）求A的逆矩阵A-1；
（2）求A的特征值和特征向量．
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
x=
1
2
t
y=
3
2
t+1
（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度．
D．[选修4-5，不等式选讲]（本小题满分10分）
设a，b，c均为正实数，求证：
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
．
已知△ABC中，D、E分别为边BC、AC的中点，AD、BE交于点G，
BM
=λ
ME
，
DN
=μ
NA
，其中λ，μ＞0，
MN
=t
BC
(t∈R)，S△ABC=1，则S△GMN的取值范围是（　　）
已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(AB)2
=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
．
（Ⅰ）判断△ABC的形状，并求t=sinA+sinB的取值范围；
（Ⅱ）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc，对任意的满足题意的a，b，c都成立，求k的取值范围．
精英家教网已知△ABC中，∠C=
π
2
．设∠CBA=θ，BC=a，它的内接正方形DEFG的一边EF在斜边AB上，D、G分别在AC、BC上．假设△ABC的面积为S，正方形DEFG的面积为T．用a，θ表示△ABC的面积S和正方形DEFG的面积T；
设f(θ)=
T
S
，试求f（θ）的最大值P，并判断此时△ABC的形状．

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