Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

与x=1时都取得极值．若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜2c恒成立，则c的取值范围是（　　）

• A．c＞-

  3

  2

• B．c≥-

  3

  2

• C．c＞2
• D．c≥2

Answer 1

分析：求出f′（x），因为函数在x=-

2

3

与x=1时都取得极值，所以得到f′（-

2

3

）=0，且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），根据函数的单调性，由于x∈[-1，2]恒成立，只需求出最大值，然后令最大值＜2c，即可求出c的范围．

解答：解；（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f'（x）=3x²+2ax+b
由

f′(- 2 3 )=3× 4 9 - 4a 3 +b=0 f′(1)=3+2a+b=0

，解得，

a=- 1 2 b=-2

．
代回原函数得，f（x）=x3-

1

2

x2-2x+c，f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表：

x	（-1，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，2]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

所以函数f（x）的递增区间是（-1，-

2

3

）和（1，2]，递减区间是（-

2

3

，1）．
当x=-

2

3

时，f（x）=

22

27

+c为极大值，而f（2）=2+c，f（-1）=

1

2

+c，所以f（2）=2+c为最大值．
要使f（x）＜2c，对x∈[-1，2]恒成立，须且只需2+c＜2c．
解得c＞2．
故选C．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及理解函数恒成立时所取到的条件，属中档题．