Question

已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M=（2，1）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l平行于OM，且与椭圆交于A、B两个不同点．
（ⅰ）若∠AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围；
（ⅱ）求证直线MA、MB与x轴围成的三角形总是等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设椭圆方程为，利用长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M（2，1），可建立几何量之间的关系，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）先假设l的方程为，再与椭圆方程联立，将∠AOB为钝角，转化为且m≠0，利用韦达定理，即可求出直线l在y轴上的截距m的取值范围；
（ⅱ）依题意可知，直线MA、MB的斜率存在，分别记为k₁，k₂，证明k₁+k₂=0，即可得到直线MA、MB的倾斜角互补，从而可知直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．
解答：（Ⅰ）解：设椭圆方程为，则
∵长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M（2，1）．
∴   （2分）
解得，故椭圆的方程为．（2分）
（Ⅱ）解：（ⅰ）由直线l平行于OM，得直线l的斜率，
又l在y轴上的截距为m，所以l的方程为．
由得x²+2mx+2m²-4=0．
又直线l与椭圆交于A、B两个不同点，△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，于是-2＜m＜2．（3分）
∠AOB为钝角等价于且m≠0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），=，
由韦达定理x₁+x₂=-2m，代入上式，
化简整理得m²＜2，即，故所求范围是．（2分）
（ⅱ）证明：依题意可知，直线MA、MB的斜率存在，分别记为k₁，k₂．
由，．（2分）
而==．
所以k₁+k₂=0，故直线MA、MB的倾斜角互补，
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．                   （3分）
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是联立方程组，利用韦达定理解决直线与椭圆的位置关系问题．