题目内容

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
分析:(1)先设出椭圆C的标准方程,进而根据焦点和椭圆的定义求得c和a,进而求得b,则椭圆的方程可得.
(2)先假设直线存在,设出直线方程与椭圆方程联立消去y,进而根据判别式大于0求得t的范围,进而根据直线OA与l的距离求得t,最后验证t不符合题意,则结论可得.
解答:解:(1)依题意,可设椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>0,b>0),且可知左焦点为
F(-2,0),从而有
c=2
2a=|AF|+|AF′|=8
,解得c=2,a=4,
又a2=b2+c2,所以b2=12,故椭圆C的方程为
x2
16
+
y2
12
=1

(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=
3
2
x+t,
y=
3
2
x+t
x2
16
+
y2
12
=1
得3x2+3tx+t2-12=0,
因为直线l与椭圆有公共点,所以有△=(3t)2-4×3(t2-12)≥0,解得-4
3
≤t≤4
3

另一方面,由直线OA与l的距离4=
|t|
9
4
+1
,从而t=±2
13

由于±2
13
∉[-4
3
,4
3
],所以符合题意的直线l不存在.
点评:本小题主要考查直线、椭圆等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.
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