题目内容
△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且cosB=
．
（1）求cotA+cotC的值；
（2）若
•
=
，求a+c的值．
| 3 |
| 4 |
（1）求cotA+cotC的值；
（2）若
| BA |
| BC |
| 3 |
| 2 |
（1）∵cosB=
∴sinB=
=
=
∵a、b、c成等比数列
∴b2=ac
∴依据正弦定理得：sin2B=sinAsinC
∴cotA+cotC
=
+
=
=
=
=
=
．
（2）∵
•
=
，
∴ac•cosB=
，
∵cosB=
，
∴ac=2，即：b2=2．
∵b2=a2+c2-2ac•cosB
∴a2+c2=b2+2ac•cosB=5
∴（a+c）2=a2+c2+2ac=5+4=9
故：a+c=3．
| 3 |
| 4 |
∴sinB=
| 1-cos2B |
1-
|
| ||
| 4 |
∵a、b、c成等比数列
∴b2=ac
∴依据正弦定理得：sin2B=sinAsinC
∴cotA+cotC
=
| cosA |
| sinA |
| cosC |
| sinC |
=
| sinCcosA+cosCsinA |
| sinAsinC |
=
| sin(A+C) |
| sin2B |
=
| sinB |
| sin2B |
=
| 1 |
| sinB |
=
4
| ||
| 7 |
（2）∵
| BA |
| BC |
| 3 |
| 2 |
∴ac•cosB=
| 3 |
| 2 |
∵cosB=
| 3 |
| 4 |
∴ac=2，即：b2=2．
∵b2=a2+c2-2ac•cosB
∴a2+c2=b2+2ac•cosB=5
∴（a+c）2=a2+c2+2ac=5+4=9
故：a+c=3．
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