题目内容
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知C=
．
（1）若a=2，b=3，求边c；
（2）若c=
，sinC+sin（B-A）=sin2A，求△ABC的面积．
| π |
| 3 |
（1）若a=2，b=3，求边c；
（2）若c=
| 3 |
分析：（1）由a，b及cosC的值，利用余弦定理即可求出c的值；
（2）由A，B，C为三角形内角，得到C=π-（A+B），代入已知等式化简，左边利用和差化积公式变形，当cosA不为0时，得到sinA=sinB，即A=B，确定出三角形为等边三角形，求出此时面积；当cosA=0时，确定出A度数为90度，即此时三角形为直角三角形，求出此时面积即可．
（2）由A，B，C为三角形内角，得到C=π-（A+B），代入已知等式化简，左边利用和差化积公式变形，当cosA不为0时，得到sinA=sinB，即A=B，确定出三角形为等边三角形，求出此时面积；当cosA=0时，确定出A度数为90度，即此时三角形为直角三角形，求出此时面积即可．
解答：解：（1）∵a=2，b=3，C=
，
∴由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=4+9-6=7，
则c=
；
（2）∵A+B+C=π，
∴C=π-（A+B），
∴sinC+sin（B-A）=sin2A化简为：sin（B+A）+sin（B-A）=2sinAcosA，即2sinBcosA=2sinAcosA，
当cosA≠0时，sinA=sinB，
∵A、B为三角形内角，
∴A=B或A+B=π（舍去），
又C=
，c=
，
∴△ABC为等边三角形，
此时S△ABC=
absinC=
；
当cosA=0时，A=
，
∴△ABC为直角三角形，B=
，
设b=x，则a=2x，
根据勾股定理得：x2+（
）2=（2x）2，
解得：x=1，
则b=1，a=2，
此时S△ABC=
absinC=
．
| π |
| 3 |
∴由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=4+9-6=7，
则c=
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（2）∵A+B+C=π，
∴C=π-（A+B），
∴sinC+sin（B-A）=sin2A化简为：sin（B+A）+sin（B-A）=2sinAcosA，即2sinBcosA=2sinAcosA，
当cosA≠0时，sinA=sinB，
∵A、B为三角形内角，
∴A=B或A+B=π（舍去），
又C=
| π |
| 3 |
| 3 |
∴△ABC为等边三角形，
此时S△ABC=
| 1 |
| 2 |
3
| ||
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当cosA=0时，A=
| π |
| 2 |
∴△ABC为直角三角形，B=
| π |
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设b=x，则a=2x，
根据勾股定理得：x2+（
| 3 |
解得：x=1，
则b=1，a=2，
此时S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：此题考查了余弦定理，勾股定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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