Question

已知直线y=-x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为

3

3

，焦距为2，求椭圆的标准方程；
（2）若OA⊥OB（其中O为坐标原点），当椭圆的离率e∈[

1

2

，

2

2

]时，求椭圆的长轴长的最大值．

Answer 1

解（1）∵e=

3

3

，即

c

a

=

3

3

．又2c=2，解得a=

3

，
则b=

a2-c2

=

2

．
（2）
由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=-x+1

消去y得（a²+b²）•x²-2a²x+a²•（1-b²）=0，
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0，整理得a²+b²＞1．
设A（x₁，y₁，），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

．
∴y₁y₂=（-x₁+1）（-x₂+1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1．
∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0．
∴

2a2(1-b2)

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1=0．整理得a²+b²-2a²b²=0．
∵b²=a²-c²=a²-a²e²，代入上式得
2a²=1+

1

1-e2

，
∴a²=

1

2

(1+

1

1-e2

)．
∵e∈[

1

2

，

2

2

]∴

1

4

≤e2≤

1

2

，
∴

1

2

≤1-e2≤

3

4

，
∴

4

3

≤

1

1-e2

≤2，∴

7

3

≤1+

1

1-e2

≤3，
∴

7

6

≤a2≤

3

2

，适合条件a²+b²＞1，
由此得

42

6

≤a≤

6

2

．
∴

42

3

≤2a≤

6

，
故长轴长的最大值为

6