题目内容
已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前 n项和，且满足
=S2n-1，n∈N*．数列{bn}满足bn=
，Tn为数列{bn}的前n项和．
（1）求数列{an}的通项公式an和数列{bn}的前n项和Tn；
（2）若对任意的n∈N*，不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．
| a | 2n |
| 1 |
| an•an+1 |
（1）求数列{an}的通项公式an和数列{bn}的前n项和Tn；
（2）若对任意的n∈N*，不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．
（1）在
=S2n-1中，令n=1，n=2，
得
，即
…（1分）
解得a1=1，d=2，∴an=2n-1
又∵an=2n-1时，Sn=n2满足
=S2n-1，∴an=2n-1…（2分）
∵bn=
=
(
-
)，
∴Tn=
（1-
+
-
+…+
-
）=
． …（4分）
（2）①当n为偶数时，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，即需不等式λ＜
=2n+
+17恒成立． …（5分）
∵2n+
≥8，等号在n=2时取得．
∴此时λ 需满足λ＜25． …（6分）
②当n为奇数时，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，即需不等式λ＜
=2n-
-15恒成立． …（7分）
∵2n-
是随n的增大而增大，∴n=1时，2n-
取得最小值-6．
∴此时λ 需满足λ＜-21． …（8分）
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21． …（9分）
（3）T1=
， Tm=
， Tn=
，
若T1，Tm，Tn成等比数列，则(
)2=
(
)，
即
=
． …（10分）
由
=
，可得
=
＞0，即-2m2+4m+1＞0，
∴1-
＜m＜1+
． …（11分）
又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12…（12分）
因此，当且仅当m=2，n=12时，数列T1，Tm，Tn中的T1，Tm，Tn成等比数列．…（13分）
| a | 2n |
得
|
|
解得a1=1，d=2，∴an=2n-1
又∵an=2n-1时，Sn=n2满足
| a | 2n |
∵bn=
| 1 |
| an•an+1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n+1 |
∴Tn=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n+1 |
| n |
| 2n+1 |
（2）①当n为偶数时，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，即需不等式λ＜
| (n+8)(2n+1) |
| n |
| 8 |
| n |
∵2n+
| 8 |
| n |
∴此时λ 需满足λ＜25． …（6分）
②当n为奇数时，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，即需不等式λ＜
| (n-8)(2n+1) |
| n |
| 8 |
| n |
∵2n-
| 8 |
| n |
| 8 |
| n |
∴此时λ 需满足λ＜-21． …（8分）
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21． …（9分）
（3）T1=
| 1 |
| 3 |
| m |
| 2m+1 |
| n |
| 2n+1 |
若T1，Tm，Tn成等比数列，则(
| m |
| 2m+1 |
| 1 |
| 3 |
| n |
| 2n+1 |
即
| m2 |
| 4m2+4m+1 |
| n |
| 6n+3 |
由
| m2 |
| 4m2+4m+1 |
| n |
| 6n+3 |
| 3 |
| n |
| -2m2+4m+1 |
| m2 |
∴1-
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12…（12分）
因此，当且仅当m=2，n=12时，数列T1，Tm，Tn中的T1，Tm，Tn成等比数列．…（13分）
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（n∈N*）．
．
（n∈N*）．
．
（n∈N*）．
．