Question

已知数列，首项，若二次方程的根α、β且满足3α+αβ+3β=1，则数列{a_n}的前n项和S_n=    ．

Answer 1

【答案】分析：由韦达定理得到α+β=，α•β=-，从而可得3a_n+1=a_n+1，可分析出{a_n-}是以为首项，为公比的等比数列，于是可求得a_n，利用分组求和法即可求得S_n．
解答：解：依题意得：α+β=，α•β=-，
∵3α+αβ+3β=1，
∴3•-=1．
∴3a_n+1=a_n+1，
∴3（a_n+1-）=a_n-，
∴=，又，
∴a₁-=，
∴{a_n-}是以为首项，为公比的等比数列．
∴a_n-=•=．
∴a_n=+．
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=[++…+]+n
=-+．
故答案为：+-．
点评：本题考查等比数列的通项公式与求和公式，确定{a_n-}是以为首项，为公比的等比数列是关键，属于中档题．