Question

在空间直角坐标系中，解答下列各题：
（1）在x轴上求一点P，使它与点P₀（4，1，2）的距离为

30

；
（2）在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使它到点N（6，5，1）的距离最小．

Answer 1

分析：（1）设出x轴上的点的坐标，根据它与已知点之间的距离，写出两点之间的距离公式，得到关于未知数的方程，解方程即可，注意不要漏掉解，两个结果都合题意．
（2）先设点M（x，1-x，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．

解答：解：（1）设点P的坐标是（x，0，0），
由题意|P0P|=

30

，
即

(x-4)2+12+22

=

30

，
∴（x-4）²=25．解得x=9或x=-1．
∴点P坐标为（9，0，0）或（-1，0，0）．先设点M（x，1-x，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．
（2）设点M（x，1-x，0）
则|MN|=

(x-6)2+(1-x-5)2+(1-0)2

=

2(x-1)2+51

∴当x=1时，|MN|min=

51

．
∴点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．

点评：本题考查空间两点之间的距离公式，在两点的坐标，和两点之间的距离，这三个量中，可以互相求解．（1）中涉及二次函数研究最值问题，同时考查了计算能力，属于基础题．