题目内容

设函数f（x）=msinx+cosx的图象经过点（
π
2
，1）．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式，并求函数的最小正周期；
（Ⅱ）若f（
π
12
）=
2
sinA，其中A是面积为
3
2
2
的锐角△ABC的内角，且AB=2，求边AC的长．
分析：（1）由函数f（x）=msinx+cosx的图象经过点（
π
2
，1），求得m=1，可得f（x）的解析式为
2
sin（x+
π
4
），从而求得函数的周期．
（Ⅱ）根据 f（
π
12
）=
2
sinA，A为锐角，求得 A的值，再由AB=2，三角形的面积为
3
2
2
=
1
2
•AB•AC•sinA，求得边AC的长．
解答：解：（1）∵函数f（x）=msinx+cosx的图象经过点（
π
2
，1），∴m+0=1，解得m=1，∴f（x）=sinx+cosx=
2
sin（x+
π
4
）．
它的最小正周期等于 2π．
（Ⅱ）∵f（
π
12
）=
2
sin（
π
12
+
π
4
）=
2
sinA，A为锐角，∴A=
π
12
+
π
4
=
π
3
．
再由AB=2，三角形的面积为
3
2
2
=
1
2
•AB•AC•sinA=AC•
3
2
，可解得 AC=
6
．
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，三角函数的周期性与求法，三角形的面积公式，属于中档题．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）（其中M＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设α∈(
π
6
，  
2π
3
)，  β∈(-
5π
6
，-
π
3
)，  f(
α
2
)=
3
5
，  f(
β
2
)=-
4
5
，求cos2（α-β）的值．
设函数f（x）=x2013+x，x∈R，若当θ∈[0 ， 
π2
)时，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，则m的取值范围是
（-∞，1）
（-∞，1）
．
设函数f（x）=x3+x，x∈R．若当0＜θ＜
π
2
时，不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
（2013•泸州一模）已知命题p：夹角为m的单位向量a，b使|a-b|＞l，命题q：函数f（x）=msin（mx）的导函数为f′（x），若?xo∈R，f′(xo)≥
4π25
．设符合p∧q为真的实数m的取值的集合为A．
（I）求集合A；
（Ⅱ）若B={x∈R|x2=πa}，且B∩A=∅，求实数a的取值范围．
设?＞0，m＞0，若函数f（x）=msin
ωx
2
cos
ωx
2
在区间(-
π
3
，
π
4
)上单调递增，则ω的取值范围是（　　）

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