Question

已知数列

8•1

12•32

，  

8•2

32•52

， …， 

8n

(2n-1)2(2n+1)2

， ….S_n为其前n项和．计算得S1=

8

9

，  S2=

24

25

，  S3=

48

49

，  S4=

80

81

.观察上述结果，推测出计算S_n的公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

观察分析题设条件可知Sn=

(2n+1)2-1

(2n+1)2

(n∈N)
证明如下：（1）当n=1时，S1=

32-1

32

=

8

9

，等式成立．
（Ⅱ）设当n=k时等式成立，即Sk=

(2k+1)2-1

(2k+1)2

.则Sk+1=Sk+

8(k+1)

(2k+1)2(2k+3)2

=

(2k+1)2-1

(2k+1)2

+

8(k+1)

(2k+1)2(2k+3)2

=

[(2k+1)2-1](2k+3)2+8(k+1)

(2k+1)2(2k+3)2

=

(2k+1)2(2k+3)2-(2k+3)2+8(k+1)

(2k+1)2(2k+3)2

=

(2k+1)2(2k+3)2-(2k+1)2

(2k+1)2(2k+3)2

=

(2k+3)2-1

(2k+3)2

=

[2(k+1)+1]2-1

[2(k+1)+1]2

由此可知，当n=k+1时等式也成立．根据（1）（2）可知，等式对任何n∈N都成立