Question

（本题满分15分）已知过点（，0）（）的动直线交抛物线于、两点，点与点关于轴对称．（I）当时，求证：；

（II）对于给定的正数，是否存在直线：，使得被以为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，试说明理由．

Answer 1

(Ⅰ) 见解析  (Ⅱ) 所以当时，存在直线，截得的弦长为，

   当时，不存在满足条件的直线

解析:

方法一：（I）设，

得

     …………………………………………………………3 分

==0

∴               ………………………………………………6 分

方法二：过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为、，

有

由

∴

∴ ……………………………………………………6 分

（II）设点是轨迹C上的任意一点，则以为直径的圆的圆心为，

假设满足条件的直线存在，直线被圆截得的弦为，则

 

                   ………………10分

弦长为定值，则，即，

此时，                          ………………12分

所以当时，存在直线，截得的弦长为，

   当时，不存在满足条件的直线…………………………………………15 分