Question

19.设椭圆方程为x²+=1,过点M（0,1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足=（+），点N的坐标为（,）.当l绕点M旋转时，求：

（Ⅰ）动点P的轨迹方程；

（Ⅱ）||的最小值与最大值.

Answer 1

19.本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.

（Ⅰ）解法一：直线l过点M（0,1），设其斜率为k,则l的方程为y=kx+1.

记A（x₁,y₁）、B（x₂, y₂）,由题设可得点A、B的坐标（x₁,y₁）、（x₂,y₂）是方程组

的解.                                                                    

将①代入②并化简得，（4+k²）x²+2kx－3=0,所以

于是

=（+）=（，）=（，）.

设点P的坐标为（x,y），则

消去参数k得

4x²+y²－y=0.                                                                        ③

当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0,0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为

4x²+y²－y=0.                                                         

解法二：设点P的坐标为（x, y），因A（x₁, y₁）、B（x₂, y₂）在椭圆上，所以

x₁²+=1,                                                                                 ④

x₂²+=1.                                                                                ⑤

④－⑤得x₁²－x₂²+（y₁²－y₂²）=0,所以

（x₁－x₂）（x₁+x₂）+（y₁－y₂）（y₁+y₂）=0.

当x₁≠x₂时，有

x₁+x₂+（y₁+y₂）·=0，                                        ⑥

并且

                                                              ⑦

将⑦代入⑥并整理得

4x²+y²－y=0.                                                                     ⑧

当x₁=x₂时，点A、B的坐标为（0,2）、（0,－2），这时点P的坐标为（0,0）也满足⑧，所以点P的轨迹方程为

+=1.　　                         

（Ⅱ）解：由点P的轨迹方程知x²≤,即－≤x≤.所以

|| ²=（x－）²+（y－）²=（x－）²+－4x²=－3（x+）²+.              

 故当x=时，||取得最小值，最小值为；当x=－时，||取得最大值，最大值为.