Question

设椭圆方程为x2+

y2

4

=1，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，点N的坐标为(

1

2

，

1

2

)，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）|

NP

|的最小值与最大值．

Answer 1

分析：（1）设出直线l的方程，A，B的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理表示出x₁+x₂，利用直线方程表示出y₁+y₂，然后利用

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)求得

OP

的坐标，设出P的坐标，然后联立方程消去参数k求得x和y的关系式，P点轨迹可得．
（2）根据点P的轨迹方程求得x的范围，利用两点间的距离公式求得|

NP

|，利用二次函数的性质和x的范围求得其最大和最小值．

解答：解：（1）直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1．
记A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由题设可得点A、B的坐标是方程组

y=kx+1① x2+ y2 4 =1②

的解．
将①代入②并化简得，（4+k²）x²+2kx-3=0，所以

x1+x2=- 2k 4+k2 y1+y2= 8 4+k2 .

，
于是

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)=(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)=(

-k

4+k2

，

4

4+k2

)．
设点P的坐标为（x，y），则

x= -k 4+k2 y= 4 4+k2 .

消去参数k得4x²+y²-y=0③
当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方
程为4x²+y²-y=0．
（2）解：由点P的轨迹方程知x2≤

1

16

，即-

1

4

≤x≤

1

4

．所以|

NP

|2=(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=(x-

1

2

)2+

1

4

-4x2=-3(x+

1

6

)2+

7

12

故当x=

1

4

，|

NP

|取得最小值，最小值为

1

4

；当x=-

1

6

时，|

NP

|取得最大值，
最大值为

21

6

．

点评：本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．