Question

已知三个点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）要使四边形为矩形，求点的坐标，并求矩形两对角线所夹锐角的余弦值．

Answer 1

解(Ⅰ)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．

∴＝(1,1)，＝(－3,3)．

又∵＝1×(－3)＋1×3＝0，

∴.                            

(Ⅱ)∵，若四边形ABCD为矩形，则.

设C点的坐标为(x，y)，则有(1,1)＝(x＋1，y－4)，

∴∴

∴点C的坐标为(0,5)．                         

由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，

∴＝(－2)×(－4)＋4×2＝16，＝2.  

设对角线AC与BD的夹角为θ，则cosθ＝＝>0.

故矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值为.