Question

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，令a_n=log₂x_n，则a₁+a₂+…+a₁₅的值为

-4

．

Answer 1

分析：利用导数的几何意义求切线方程，然后得到切线的横坐标，利用数列的特点求出数列的前15项和．

解答：解：函数的导数为f'（x）=（n+1）xⁿ，所以f'（1）=n+1，即在点（1，1）处的切线斜率k=n+1．
所以对应的切线方程为y-1=（n+1）（x-1），
令y=0，解得x=

n

n+1

，即xn=

n

n+1

，
所以an=log2

n

n+1

，
所以a₁+a₂+…+a₁₅=log2

1

2

+log2

2

3

++log2

15

16

=log2(

1

2

?

2

3

?…?

15

16

)=log2

1

16

=-4．
故答案为：-4．

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及对数的运算法则，考查学生的运算能力．