Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，点P为DD₁的中点．
（1）求证：直线BD₁∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDD₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）设AC和BD交于点O，连接PO，由P，O分别是DD₁，BD的中点，知PO∥BD₁，由此能够证明BD₁∥面PAC．
（2）由题设条件推导出AC⊥面BDD₁，由此能够证明平面PAC⊥平面BDD₁．
解答：证明：（1）设AC和BD交于点O，连接PO，
∵P，O分别是DD₁，BD的中点，∴PO∥BD₁，
又∵BD₁?面PAC，PO?面PAC，
∴BD₁∥面PAC．
（2）∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，
∴底面ABCD是正方形，则AC⊥BD．
∵DD₁⊥面ABCD，∴DD₁⊥AC，
∴AC⊥面BDD₁，
∵AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面BDD₁．
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，仔细解答．