Question

设O是正三棱锥P-ABC的底面△ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则

1

PQ

+

1

PR

+

1

PS

（　　）

A．有最大值而无最小值

B．有最小值而无最大值

C．无最大值也无最小值

D．是与平面QRS无关的常数

Answer 1

分析：设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则v_S-PQR=

1

3

S_△PQR•h=

1

3

（

1

2

PQ•PRsinα）•PS•sinβ，记O到各面的距离为d，利用v_S-PQR=v_O-PQR+v_O-PRS+v_O-PQS，可得：PQ•PR•PS•sinβ=d（PQ•PR+PR•PS+PQ•PS），由此可得结论．

解答：解：设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，
则v_S-PQR=

1

3

S_△PQR•h=

1

3

（

1

2

PQ•PRsinα）•PS•sinβ．
另一方面，记O到各面的距离为d，则v_S-PQR=v_O-PQR+v_O-PRS+v_O-PQS，

1

3

S_△PQR•d=

1

3

_△PRS•d+

1

3

S_△PRS•d+

1

3

_△PQS•d=

d

3

×

1

2

PQ•PRsinα+

d

3

×

1

2

PS•PRsinα+

d

3

×

1

2

PQ•PS•sinα，
故有：PQ•PR•PS•sinβ=d（PQ•PR+PR•PS+PQ•PS），
即

1

PQ

+

1

PR

+

1

PS

=

sinβ

d

=常数．
故选D．

点评：本题考查三棱锥体积的计算，考查学生的探究能力，正确求体积是关键．