Question

设fn(x)=

1

2

+rcosx+r2cos2x+r3cos4x+…+rn-1cos2n-2x(n≥2)．
（1）证明：对任意x∈R，当|r|≤

1

2

时，rcosx+r2cos2x≥-

3

8

；
（2）证明：当|r|≤

1

2

，f_2n+1（x）对任意x∈R和自然数n（n≥2）都有f_2n+1（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）讨论r，在r≠0的情况，利用二次函数的最值，结合r的范围运用放缩法证明；
（2）利用放缩法将所求转化，并运用等比数列求和，再结合r的范围放缩证明．

解答：解：（1）1°当r=0时，显然0≥-

3

8

2°当r≠0时，设φ（x）=rcosx+r²cos2x=r²（2cos²x-1）+rcosx
=2r2(cosx+

1

4r

)2-

1

8

-r2≥-

1

8

-r2≥-

1

8

-(

1

2

)2=-

3

8

．（|r|≤

1

2

）

（2）当|r|≤

1

2

时，?x∈R，?n∈N^*（n≥2），f2n+1=

1

2

+rcosx+r2cos2x+r3cos4x+r4cos8x++r2n-1cos22(n-1)x+r2ncos22n-1x
=

1

2

+φ(x)+r2φ(4x)++r2(n-1)•φ(4n-1x)≥

1

2

-

3

8

(1+r2++r2(n-1))≥

1

2

-

3

8

(1+

1

4

++

1

4n-1

)
=

1

2

-

3

8

•

1- 1 4n

1- 1 4

=

1

2•4n

=

1

22n+1

＞0．

点评：本题是不等式的综合题，关键是灵活运用放缩法将不等关系“细化”，放缩法证明不等式是高考的难点，也是综合题里的常考点．