Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E分别为AB，CD的中点，AE的延长线交CB于F．现将△ACD沿CD折起，折成二面角A－CD－B，连接AF．

(Ⅰ)求证：平面AEF⊥平面CBD；

(Ⅱ)当二面角A－CD－B为直二面角时，求直线AB与平面CBD所成角的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：在， 　　 　　又E是CD的中点，得AF⊥CD．3分 　　折起后，AE⊥CD，EF⊥CD， 　　又AE∩EF＝E，AE平面AED，EF平面AEF， 　　故CD⊥平面AEF，6分 　　又CD平面CDB， 　　故平面AEF⊥平面CBD．7分 　　(Ⅱ)解：∵二面角A－CD－B是直二面角， 　　且AE⊥CD， 　　∴AE⊥平面CBD．8分 　　连结EB，AB，则∠ABE就是直线AB与 　　平面CBD所成的角．9分 　　设AC＝a，在△CDB中， 　　 　　　13分 　　∴直线AB与平面CBD所成角的正切值为　14分