Question

已知f(x)=loga

1+x

1-x

，(a＞0，a≠1)
（1）求f（x）的定义域；
（2）证明f（x）的图象关于原点对称
（3）求使f（x）＞0的x取值范围．

Answer 1

分析：（1）由

1+x

1x-

＞0-可求函数f（x）的定义域
（2）由（1）f（x）的定义域为：（-1，1）可知定义域关于原点对称．要证明f（x）的图象关于原点对称，只要证明函数为奇函数即可
（3）f（x）＞0 即，loga

1+x

1-x

＞0，分类讨论：①当0＜a＜1时，loga

1+x

1-x

＞0可得，

-1＜x＜1 1+x 1-x ＜1

②当a＞1时loga

1+x

1-x

＞0得，

-1＜x＜1 1+x 1-x ＞1

，解不等式可求

解答：解：（1）

1+x

1-x

＞0，(x-1)(x+1)＜0，-1＜x＜1，所以f（x）的定义域为：（-1，1）
证明：（2）由（1）f（x）的定义域为：（-1，1）可知定义域关于原点对称.f(-x)=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=f(x)，即f（x）=-f（-x），所以，函数f（x）是奇函数，因此，f（x）的图象关于原点对称
解：（3）f（x）＞0 即，loga

1+x

1-x

＞0
①当0＜a＜1时，loga

1+x

1-x

＞0得，

-1＜x＜1 1+x 1-x ＜1

解得，-1＜x＜0．
②当a＞1时loga

1+x

1-x

＞0得，

-1＜x＜1 1+x 1-x ＞1

解得，0＜x＜1．

点评：本题主要考查了对数函数的定义域的求解，奇函数的图象关于原点对称的性质的应用及奇函数的判断，对数函数单调性的应用及对数不等式的解法，体现了分类讨论的思想的应用．